2022年度線形代数 SL02補足演習問題(2022年4月20日)

I
$$ \vec a= \begin{pmatrix} 1\\2\\-3\\4 \end{pmatrix},\ \vec b= \begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\\1 \end{pmatrix} $$ に対して$||\vec a-t\vec b||^2$を最小にする$t$を求めましょう.
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II(教科書演習1.20の補足)
$$ \vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix},\ \vec b= \begin{pmatrix} 2\\-1\\-1 \end{pmatrix},\ \vec g= \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} $$ とします.
(1) $(\vec a,\vec b)=0$であることを示しましょう.
(2) $||\vec g-x\vec a-y\vec b||^2$を最小にする$x,y$を求めましょう.
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III
次の$3$点を通る平面の方程式を求めましょう.
(1) $(0,0,0)$, $(1,2,3)$, $(4,5,6)$
(2) $(2,0,0)$, $(0,3,0)$, $(0,0,4)$
(3) (1,2,3), (-1,-1,0), (2,-3,5)
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IV
$\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^n$は平行でないとします: \begin{equation*} \vec a\nparallel\vec b \end{equation*} このとき \begin{equation*} \vec \alpha=x\vec a+y\vec b,\quad \vec \beta=z\vec a+w\vec b \end{equation*} とするとき \begin{equation*} \vec \alpha\nparallel\vec \beta \quad\Leftrightarrow\quad \begin{vmatrix} x&z\\ y&w \end{vmatrix} \not=0 \end{equation*} が成立することを示しましょう.
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V
$\vec x,\vec y\in\mathbf{R}^n$とします.
(1) \begin{equation*} \vec x\nparallel \vec y\quad\Leftrightarrow\quad \vec x\nparallel \lambda\vec x+\vec y \end{equation*} を示しましょう.
(2) $\vec x$の第1成分が$x_1\not=0$を満たすとします. (1)を$\lambda=-\frac {y_1}{x_1}$で適用することによって \begin{equation*} \begin{vmatrix} x_i&y_i\\ x_j&y_j \end{vmatrix} =0 \end{equation*} が $i\not=j$ を満たすすべての$i,j$に対して成立ならば \begin{equation*} \vec x\parallel\vec y \end{equation*} が従うことを証明しましょう.
解答ビデオ(1)
解答ビデオ(2)
VI
$a,b,c\in\mathbf{R}$は相異なる実数とします.このとき3点 \begin{equation} (a,\alpha),\quad (b,\beta),\quad (c,\gamma) \end{equation} を通る放物線 \begin{equation} y=Ax^2+Bx+C \end{equation} を求めましょう.ここではクラメールの公式を用いて$A,B,C$を求めましょう.
解答ビデオ
VII
$\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \not=\vec 0 $ とします.平面 $$ ax+by+cz+q=0 $$ と点$(x_0,y_0,z_0)$の距離$\delta$は $$ \delta= \frac{|ax_0+by_0+cz_0+q|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} $$ となることを示しましょう.
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